Ich denke auch, dass das Jobcenter eigene Recherchen anstellen und dokumentieren wird, schon aus eigenem Interesse wegen anderer Bedürftiger. In einigen Fachlichen Hinweisen zu den Unterkunftskosten (je nach Landkreis) sind die Jobcenter sogar angehalten, eigene Wohnungsmarktrecherchen zu dokumentieren.
Hier wird es bei dir nicht ausreichen, einfach ein paar Wohnungen aus den einschlägigen Immobilenportalen als Screenshot aufzunehmen. Nutze auch die örtlichen Zeitungen. Wenn möglich, erkundige die bei der Stadt nach Sozialwohnungen etc. und dokumentiere dieses ebenfalls.
Bezüglich der Unwirtschaftlichkeit eines Umzugs: Wie Tamar schon sagt, der monatliche Betrag von über 200 Euro ist mit etwa 40% drüber, kein Pappenstil. Zum aktuellen Zeitpunkt hast du ja auch sicherlich noch keinen Rentenantrag gestellt, so dass man damit nicht unbedingt argumentieren kann, da alles noch in den Sternen steht.
Gegen eine bloße Kostensenkungsaufforderung kannst du keinen Widerspruch erheben, weil es kein Bescheid ist. Erst wenn ein Bescheid mit Rechtsbehelfsbelehrung kommt, ist der Widerspruch möglich.