Oder sollte ich direkt zum Jobcenter der neuen Stadt
Ja genau. Man muss immer zu dem zuständigen Jobcenter, wo man Leistungen bekommen möchte. und dort den Antrag stellen. Allerdings kann es passieren, dass du wegen der Unterhaltspflicht deiner Eltern nichts bekommen wirst. Dessen solltest du dir bewußt sein bei deinen Plänen.
Ich meine, kommt es nicht besonders schlecht sobald die irgendwas von "ich beziehe Leistungen" hören?
Das ist nicht unbedingt ein Nachteil. Ein Vermieter will nur sicher gehen, dass er sein Geld bekommen wird. Wenn du ihn davon überzeugen kannst, dass es damt keine Probleme gibt, ist das kein Hindernis, die Wohnung zu bekommen. Wichtig, den Mietvertrag vor der Unterchrift beim Jobcenter genehmigen lassen