Hallo,
der Sachvheralt ist recht grob geschildert. Grundsätzlich ist es so, dass wenn ALG II bezogen wird, das Jobcenter in deinem Fall einen Erstattungsanspruch bei der Elterngeldstelle einreicht. Das heißt die sagen der Elterngeldstelle quasi: Hallo ich zahle an die Kundin Grundsicherung ab 01.06. und habe Elterngeld berücksichtigt, und da Grundsicherung das unterste Netz der sozialen Sicherung ist, zahlst du an mich aus und nicht an die Kundin.
Das hast du also richtig verstanden. Für die Zeit ab 01.06. kann das Jobcenter alle Gelder bzw einen Teil der Gelder für sich "beanspruchen", da der Gesetzgeber vorsieht, dass diese Leistungen vorrangig zur Verringerung der Hilfebedürftigkeit einzusetzen ist. Hier ist höchstens zu prüfen, ob du vor der Geburt gearbeitet hast, da sich dadurch unterschiedliche Freibeträge in der ALG II-Anrechnung ergeben.
Für die Zeiten vor dem 01.06.2019, also vor Leistungsbeginn, gibt es keine gesetzliche Grundlage an das Jobcenter zu zahlen. Hier würde ich auf jeden Fall nachfragen, auf welcher Basis die Gelder ans Jobcenter und nicht an sie ausgezahlt wurden.
Eine Bewilligungszeit von 4 Monaten ist im übrigen meiner Erfahrung nach sehr lang, wenn tatsächlich ordnungsgemäß mitgewirkt wurde. Geltend können Sie dadurch nichts machen, da eine Untätigkeitsklage erst ab 6 Monaten möglich sein dürfte. Aber beschweren würde ich mich allemal.
Grüße