Mietrechtlich betrachtet ist Dein Ex schlicht nicht Teil des Mietvertrags. Das bedeutet, er ist bisher mietrechtlich - sinngemäß - Dein Gast und (mit wenigen Ausnahmen) nicht mehr. Sobald Du kündigst, hat auch er kein Wohnrecht mehr. Falls er rechtswidrig in der Wohnung bleiben sollte und sie nicht räumt, haftest Du für alle Folgekosten. Er könnte sicherlich nach Region aus Einzelfall ein paar Monate oder mehr in der Wohnung bleiben, bis man ihn erfolgreich rausgeklagt hat und der Gerichtsvollzieher ihn mit Polizei dann tatsächlich räumen kann. Dafür entstehen aber erhebliche Zusatzkosten, die Dich ebenfalls treffen.
Nun kannst Du natürlich den Mietvertrag ungekündigt lassen und er wohnt weiter da. Du bist dann weiter Mieterin, Du stehst finanziell dem Vermieter für alle Pflichten aus dem Mietvertrag ein und haftest. Bedenkt man, dass ihr Euch getrennt habt und zusätzliche Wohnungen üblicherweise eine nicht ganz unerhebliche finanzielle Last sind, ist das aber vermutlich nicht das, was Du möchtest und was in Deinem Interesse wäre.
In solchen Situationen kommen theoretisch Verhandlungslösungen in Betracht. Falls Euer Vermieter bereits ist, einen Mietvertrag mit Deinem Ex zu schließen, könnte er vielleicht weiter dort wohnen. Zusätzlich müsste die Wohnung preislich aber auch in den Mietobergrenzen liegen, die das Jobcenter akzeptieren darf. Falls ja, kann das Jobcenter evtl. dem neuen Mietvertrag zustimmen und die Kosten anerkennen. Das könntet ihr beim Jobcenter prüfen lassen, falls ihr eine Zusage vom Vermieter bekommt. Bei einer Wohnung für zwei Personen vom freien Markt müsste die Wohnung in den meisten Regionen aber ungewöhnlich günstig sein, damit sich das ausgeht. Ähnlich wäre es im Ergebnis, wenn Du mit Zustimmung Deines Vermieters an Deinen Ex untervermietest (nur, dass Du dann finanziell dem Vermieter weiter haftest, falls irgend etwas schief geht).
Aus der Ferne und nur mit den bisher verfügbaren Infos möchte ich deshalb nicht komplett ausschließen, dass es irgend eine Lösung geben könnte, bei dem Dein Ex in der Wohnung bleibt. Falls es klappen sollte, wäre es aber sicher nicht der Regelfall.
Ansonsten gilt: Dein Ex muss sich darauf einstellen, sich schnellstmöglich eine neue Wohnung zu suchen. Das ist für andere Menschen in ähnlichen Situationen auch selbstverständlich. Als Leistungsbezieher und Mensch mit Schwerbehinderung kann es sein, dass er hier auch Vorteile hat, wie z.B. dass die Vergabe einer Sozialwohnung möglich ist. Hilft alles andere nicht, kann und muss er sich an die örtliche Behörde wenden, die für die Sicherung von Unterkünften bei drohender Wohnungslosigkeit zuständig ist.